導語：如何才能寫好一篇邏輯推理基本公式，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：初中 數(shù)學教學 邏輯推理

推理是人類所特有的一種高級心理活動，是大腦反映客觀事物的一般特性及其相互關系的一種過程。概括地說，推理就是人們對客觀事物間接的概括的認識過程。所謂邏輯推理，是一種確定的、前后一貫的、有條理的、有根有據(jù)的思維，是人類正確認識事物必不可少的手段?！毒拍炅x務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱》明確提出展邏輯思維能力和邏輯推理能力，并能夠運用所學知識解決簡單的實際問題”。邏輯推理能力是與數(shù)學密切相關的特殊能力，培養(yǎng)這種特殊能力的最終的著眼點，是要使學生能夠運用所學知識解決簡單的實際問題。培養(yǎng)學生邏輯推理能力的首要關鍵是教師必須熟練地掌握各種不同的推理方法.而其根本途徑是通過發(fā)掘教材內(nèi)部的邏輯推理因素，考慮教材特點以及學生年齡特征結合數(shù)學來進行，既要做到有意融，叉必須潛移默化。任何離開教材另搞一套的做法都是不必要的。晚離學生實際，片面追求邏輯上的完整、嚴謹，提出過高過急的要求也是難以收到良好效果的.培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯推理能力，是中學數(shù)學的重要教學目的之一。當然教師首先本身應該研究邏輯學，掌握一定的邏輯知識，在課堂教學中，應當充分體現(xiàn)出教材本身邏輯系統(tǒng)的要求，充分揭示教材的矛盾和學生認識過程的矛盾。通過設計一系列逐步深化的問題引導學生由淺人深地進行思考。

一、在加深對基本概念的透徹理解的過程中發(fā)展學生的邏輯推理能力

培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能力，是中學數(shù)學教學的目的之一，中學數(shù)學教材從始至終都包含著豐富的邏輯因素，體現(xiàn)了邏輯規(guī)律和邏輯形式.在教學中，要不斷地揭示出教材的內(nèi)在邏輯性，以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。常常碰到有的學生在解答數(shù)學習題的時候，只重視公式定理的記憶，熱衷于難題的求解，卻不重視對數(shù)學概念的透徹理解，因而常有偷換概念等錯誤出現(xiàn)。

例如，在求解汽船往返甲、乙兩碼頭之間順水速度為60千米/小時，逆水速度為30千米/小時，往返一次的平均速度時，學生錯解為平均速度是（30+60）×1/2=45（千米/小時）。這里對“平均速度”概念的理解是錯誤的，把它和兩個數(shù)的算術平均數(shù)混淆起來了。違反了思維的基本規(guī)律，因而得出的結論是錯誤的。

正確的解法是：設兩碼頭相距s公里，則往返一次的距離為2S，順水用的時間為未小時，逆水時間為S/60小時，故平均速度為V=2S/（S/60+S/30）（千米/小時）。從這個例子可以看到如能運用邏輯推理方法去理解平均速度，也就可以加深平均速度這概念的理解。在教學中如果教師掌握了這一規(guī)律也就能強調(diào)對這概念的具體理解和使用，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

二、從特殊到一般，再從一般到特殊，在掌握知識和運用知識的過程中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力

初中數(shù)學中的概念、命題（公理、定理、公式）、推理、論證等都屬于思維形式的范疇，這些思維形式都要遵循一定的思維規(guī)律。例如，在設計同底數(shù)冪的乘法法則推導時，先引導學生以特殊的例子103×l02=（10×10×10） ×（10×10）（乘方的意義）=10×10×10×10×l0（乘法的結合律）=105（乘方的意義）。

得出：103×l02=103+2。

然后用同理可得23×24=23+4；（1/2）2×（1/2）4=（1/2）2+4；說明不同的底數(shù)有相同的規(guī)律再舉出a3·a2得a3·a2=a3+2，從而提出問題引導學生思考am·an=？，由學生分析并歸納出am·an=am+n從而得到一般地如果m、n都是正整數(shù)，那么am·an=am+n，這就是一個由特殊到一般的思維過程。這樣訓練，既使學生搞清公式、法則的來龍去脈，又加強了學生邏輯推理能力的培養(yǎng)。

三、在更正學生練習或作業(yè)的錯誤中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力

例如，含鹽12%的鹽水4千克，需加人多少克鹽，才能達到含鹽20%的鹽水

解：設需加入戈克鹽，根據(jù)題意，可得方程：

4×12/100+x=202（4+x）×20/100解得：x=0.4克

這個根在檢驗時，可能不難發(fā)現(xiàn)不合題意。如能遵循邏輯思維基本規(guī)律，在同一運算過程中，保持同一運算單位，就不會錯在單位不統(tǒng)一上，而造成列錯方程了。

正確方程應為： 4000×12/100+ x =（4000+ x） ×20/100

從上面解題中可以看出：在列方程解應用題時，最容易忽略單位的統(tǒng)一而列錯了方程。如果你能運用邏輯思維基本規(guī)律檢查一下你所列出的方程，就可能會發(fā)現(xiàn)問題，從而得到一個正確的方程。因此，在更正學生的練習或作業(yè)時，要加強對知識的理解和掌握，根據(jù)邏輯推理迅速、準確的解答問題，論證自己的論斷，以及嚴謹而前后一貫地敘述自己的思想，從而培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

總之，邏輯推理能力，是正確、合理地進行思考的能力，它在能力培養(yǎng)中起到核心的作用。初中數(shù)學教學中，發(fā)展學生的邏輯推理能力，主要是逐步培養(yǎng)學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，會用歸納、演繹和類比進行推理，會準確地闡述自己的思想和觀點，形成良好的思維品質(zhì)。只有培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，并在發(fā)展的過程中，不斷地修正錯誤，認識真理，使他們獲得越來越豐富的科學知識，這尤其是在初中起點年級更為重要。

參考文獻：

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數(shù)學相對于物理、化學等學科來說，其區(qū)別就在于――從某種程度上講，物理、化學等學科是實驗性的科學，它們是建立在實驗的基礎之上的，而數(shù)學不是，或者說數(shù)學相對于物理、化學等學科來說，更多的依賴于邏輯推理。舉例子來說，物理力學中的牛頓定律、萬有引力定律以及電學中的歐姆定律等都是由實驗總結出來的自然規(guī)律，而數(shù)學中更多的是使用嚴格的邏輯推理而得出來各種結論，“經(jīng)實驗證明”這種類似說法在數(shù)學中是不被允許的。這也就是我們在數(shù)學書上很少甚至沒有看到“某某定律”而是表述為“某某定理”的原因。因此，隱藏在具體的數(shù)學知識背后的真正功臣是嚴密的邏輯推理和思維能力。從實質(zhì)意義上來說，學習數(shù)學就是學習邏輯推理，鍛煉思維能力。

中考復習是項艱巨的任務，若處理不好，老師和學生就會陷入題海的深淵中，經(jīng)常低效率地重復練習，導致學習效果不好且厭學情緒較重。我認為數(shù)學復習應把握兩點：一、“重視基礎”；二、“能力立意”。

重視基礎意思就是從最基本的知識出發(fā)，數(shù)學復習要緊緊抓住課本，反芻吃透課本是搞好數(shù)學復習的第一條生命線，要把課本中的基本概念、基礎知識、基本解題技能、典型例題、解題中常用的通法通解等熟爛于胸，如牛吃草后反芻一樣，把課本的復習內(nèi)容反芻精透。從近幾年的中考試題中不難發(fā)現(xiàn)，追根求源，很多問題都能在課本中找到它的“根”；很多同學舍本求末，泡在各種名目的復習資料中。殊不知，就連北京大學、清華大學的高考狀元們也稱“課本才是數(shù)學復習的命根子”，真正能把課本內(nèi)容徹底吃透消化后，數(shù)學解題能力再向上提高就像一層窗紙一樣一捅就破。每天數(shù)學高考中與課本有關聯(lián)的試題比比皆是，有些試題就是課本例、習題的變式，有些試題是課本例、習題的深化和綜合，不但中低難度題是這樣，就連能力要求較高的題。有不少高考狀元在總計八九個月時間的總復習中，竟把數(shù)學課本反復過濾研究三四遍：分析經(jīng)典例題、體會公式定理、梳理單元網(wǎng)絡，并且教材上的習題親手做一遍，留意題型，注意解法，總結分類，前后對照，整合知識系統(tǒng)。特別是長時間扎進題海收獲無多時，再返回教材，反芻課本，對數(shù)學知識的感悟，對解題能力的升華會有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的新體驗。

所謂“能力立意”，意思是說試題不是基礎知識的簡單堆砌，而是精心巧妙的組裝，通過這種組裝，題目就給人一種新穎、陌生感。以知識為立意，突出“基礎性”，追求數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)理解。以能力為立意，突出“發(fā)展性”，追求數(shù)學素養(yǎng)的全面提升。以狀態(tài)為立意，突出“綜合性”，追求數(shù)學能力的有效展示。以補漏為立意，突出“全面性”，追求數(shù)學水平的穩(wěn)定發(fā)揮。

復習課我們一直強調(diào)孩子要梳理好知識體系，可有多少孩子真正能把知識間的關系梳理透徹呢？現(xiàn)在正值九年級大復習階段，經(jīng)常遇見孩子把以往學過的公式概念混為一談的情況。此時給孩子糾正一些錯誤認識固然重要，不過讓孩子追根求源明白知識間的前因后果則更為重要！大家都知道授人以魚不如授人以漁的道理，學生掌握住知識的來源后，這些才能成為永遠的技能，同時也才能培養(yǎng)鍛煉學生的思維能力及邏輯分析能力！

案例一：在復習《整式》時，同底數(shù)冪相乘am?an=am+n，冪的乘方（am）n=amn，積的乘方（ab）m=ambm，這幾個公式有些孩子不知什么時候指數(shù)相加什么、時候指數(shù)相乘。這時就應該從乘方的概念入手，讓孩子想想指數(shù)的意義。am?an=am+n表示m個a相乘再乘以n個a的積，那結果就表示（m+n）個a相乘，所以此時指數(shù)應該相加。讓學生用類似方法去理解另外兩個公式，理解透徹孩子應該再也不會記混了！

案例二：弧長扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積公式等，有些同學對此也是混為一談！尤其是有些問題既涉及弧長又涉及圓錐側(cè)面積的，部分同學對待此問題像亂麻一樣束手無策！為徹底消除擺在學生面前的混亂，我又從圓周長公式、圓面積公式入手給學生分析弧長公式及扇形面積公式的來歷。從圓錐―扇形（圓錐的側(cè)面圖）中間一些元素角色的轉(zhuǎn)換，母線轉(zhuǎn)化為扇形半徑、底面周長轉(zhuǎn)化為弧長。這樣從圓面積到扇形面積再到圓錐側(cè)面積的公式，經(jīng)歷這一切孩子們理解更加透徹，用得也更加嫻熟了。

所以，對于數(shù)學學習者來說，要追根求源了解公式定理的源頭，關注證明過程，清楚方法的實質(zhì)，同時著眼于思維的訓練和邏輯推理能力的培養(yǎng)。當然對于數(shù)學學習者來說，如果只潛心于數(shù)學概念（定義）、公理、定理、命題、推論以及各種公式的學習和研究，這是舍本逐末的事情，數(shù)學必須從方法的層面上去學習。數(shù)學在很多不同的具體知識中，所用的方法很多都是相同的，比如說歸納法、分類討論方法、方程及方程組的方法等等。于是，這就要求數(shù)學學習者們多去做一些歸納總結?，F(xiàn)在的很多學生就缺乏這種綜合的能力，而且也不注意去培養(yǎng)這種能力，整天困在題目的海洋里，運用著他們所謂的題海戰(zhàn)術，這是學不好數(shù)學的，至少是學不到數(shù)學的精髓的。因此，我們要做的，就是培養(yǎng)學生們的歸納總結以及綜合的能力，教給他們學習的方法，授之以漁而非授之以魚。

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一、立足現(xiàn)實，從個別到一般培養(yǎng)學生合情推理能力

合情推理是指從個別到一般的推理過程，它要求學生通過類比、歸納、總結和概括現(xiàn)有的直觀事物，從而推導出一般性的結論和經(jīng)驗。小學生處于個體成長和發(fā)展的最初階段，依賴直觀性的客觀表象進行生活和發(fā)展的形象思維占據(jù)主導地位，對事物的認識往往停留于感性水平上，因此，小學數(shù)學教師應當將小學生邏輯推理能力的培養(yǎng)放在歸納推理上面，通過引導學生對既定的數(shù)學知識、技能以及生活現(xiàn)象進行觀察、作圖、比較、假設、歸納和概括，從而使學生從對事物的感性認識上升到理性認識上。例如學生在解答找規(guī)律一題：“2、5、11、23、47、 ”時，學生要想在橫線上填上正確的答案，就必須結合已經(jīng)學過的數(shù)學知識和經(jīng)驗，并將這些知識經(jīng)驗進行思維加工，在它們之間建立有機的聯(lián)系，從而推斷出正確的結論，因此，這道題考查的是學生的合情推理能力。學生通過觀察這些數(shù)字會發(fā)現(xiàn)，利用加減法并沒有發(fā)現(xiàn)他們之間有什么特別的規(guī)律所在，因此，學生推斷它們之間可能存在乘除關系或平方關系，根據(jù)學過的找規(guī)律的方法，學生先剖析前兩個數(shù)之間的關系，發(fā)現(xiàn)：5=2×2+1，再看第二個數(shù)與第三個數(shù)之間的關系，他們也存在一樣的規(guī)律：11=5×2+1，因此，答案便迎刃而解，學生經(jīng)過一番推理得出了95。

二、統(tǒng)合舊知，從經(jīng)驗到結論培養(yǎng)學生演繹推理能力

雖然小學生的日常行為處事是以形象思維為主，但在小學階段，特別是中高年級，學生的抽象思維已經(jīng)覺醒，對事物的感知已經(jīng)逐步具有理性認識的色彩，而且隨著社會的不斷發(fā)展以及營養(yǎng)水平的提升，個體身心發(fā)育的速度在不斷提升，同時在年齡上表現(xiàn)出逐漸向前推的趨勢，這就為小學生的思維品質(zhì)發(fā)展加了一瓶濃濃的催化劑。另外，當今社會紛繁復雜，信息大爆炸使得小學生年紀輕輕就沉浸在這個大熔爐之中，為了幫助學生學會正確選擇和判斷自己所需要的信息，更加理性地生活著，我們在著重培養(yǎng)小學生的合情推理能力的同時，應當同步培養(yǎng)學生的演繹推理能力。教師應當具體結合生活案例，引導學生利用已有的數(shù)學公理、定義等規(guī)律，驗證結論假設的正確性，正確處理合情推理與演繹推理的關系。例如在教學蘇教版小學數(shù)學第九冊《三角形面積的計算》時，師生通過利用三角形與平行四邊形進行拼接、裁剪、探討和驗證認識到：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，進而得出了三角形面積的求法，即三角形面積=平行四邊形面積÷2=底×高÷2。然而，師生所探討的主要是銳角三角形的面積推導，而三角形又分為直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，而銳角三角形又可分為等邊三角形、等腰三角形等類別，是不是這些不同類別的三角形面積也符合同樣的計算公式和法則呢？這就需要教師引導學生進行依次實驗和證明，分別對這些三角形的面積進行演繹，最后得出的結果都符合這個計算公式，因而判定“三角形的面積=底×高÷2”。

三、發(fā)散思維，從單向到多向培養(yǎng)學生多維思考習慣

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關鍵詞：高中學生；數(shù)學；思維障礙；成因；突破

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）-06-0096-01

一、高中學生數(shù)學思維障礙內(nèi)涵

思維是人腦對客觀事物的反應，是一種大腦活動。人類大腦在接觸世界時，會對客觀事物進行信息采集和處理，然后進行邏輯思考，這一系列復雜的過程稱為“思維”。思維障礙是指人腦對客觀事物進行邏輯思考時，不能準確得出一般性結論（普遍真理），與正確的思維相比存在邏輯誤區(qū)，無法形成正確的思維。同時，不能掌握正確的邏輯推理能力，無法學會既定的邏輯思考法則，也屬于思維障礙。小學和初中教育階段，數(shù)學學科重點培養(yǎng)學生掌握基本的數(shù)學法則和數(shù)學規(guī)律，形成一定的數(shù)學思維，高中數(shù)學相比之前的數(shù)學教育，存在一個明顯的轉(zhuǎn)型，由運算能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)向數(shù)學邏輯能力的培養(yǎng)，因此，高中數(shù)學通過數(shù)學學科知識教育，如三角函數(shù)等數(shù)學定理等，來重點培養(yǎng)學生的邏輯運算能力。因此，高中學生數(shù)學思維障礙，實際上是一種邏輯思維障礙，沒有形成正確的邏輯思維和數(shù)學思考能力。

二、高中學生數(shù)學思維障礙類型和成因

（一）高中學生數(shù)學思維障礙的類型。高中學生數(shù)學思維障礙，總體來說包含以下幾種類型。首先是思維定勢障礙，這種思維障礙源于學生在之前的理解中形成思維定勢，無法接受其他的邏輯推理。其次是功能固定思維障礙，這種思維障礙使得自己的思維固定在一個方面，不能使思維發(fā)散和同類推理。第三是概念思維障礙，對概念理解不清、概念之間的混淆極易造成這類思維障礙。第四是興趣思維障礙，也成為非智力思維障礙，主要源于學生興趣的缺乏和對數(shù)學知識的主觀排斥。還有其他的思維障礙，如經(jīng)驗型、干擾型等等。

（二）高中學生數(shù)學思維障礙的成因。上述幾種思維障礙的類型，在形成原因上具有很強的相似性，并且促使某種思維障礙形成的原因有很多，有些甚至是相互影響的。但是，不同的思維障礙類型之間有著一定的差別，主要表現(xiàn)在思維障礙的形成過程上。因此，需要對數(shù)學思維障礙根本原因進行分析，然后分析不同類型思維障礙的形成原因。

1.邏輯推理方式引起的思維障礙。邏輯推理方式引起的思維障礙是數(shù)學思維障礙的根本原因（除去主觀排斥因素）。實際上，高中數(shù)學思維障礙在形成因素上是一致的，即自身的思維存在誤區(qū)，因此不能很好的接受正確思維的鍛煉。人在接觸世界時，會根據(jù)自身的情況對事物進行思考，信息量越多邏輯推理越復雜，因此每個人思考中利用的信息都是不一樣的，這會使不同的人形成不同的邏輯推理方式，這是影響學生接受正確數(shù)學思維培養(yǎng)、形成數(shù)學思維障礙的最重要原因。

2.思維定勢障礙的成因。思維定勢障礙的成因是學生在之前接受的思維鍛煉中，形成非常固定難以改變的思維定勢，使他在接觸其他的普遍規(guī)律時，無法將思維裝換過來，即使這兩種思維并非表現(xiàn)同一個普遍規(guī)律，但他任然無法跳出定勢思維的影響，因此不能掌握其他的思維類型。比如在三角函數(shù)的學習中，sin=tan·cos，學生初中三角函數(shù)的學習當中已經(jīng)接觸到這個運算法則，因此形成了較強的思維定勢，當他再接觸cotA=cosA·cscA這個公式時，思維不能形成正確的轉(zhuǎn)換，就如同形成條件反射一般，在邏輯推理上缺少一環(huán)，沒有自己思考和轉(zhuǎn)換的痕跡。

3.功能固定思維障礙成因。功能固定思維障礙在形成的根本原因上與上述的思維定勢障礙的相似，都是邏輯推理和邏輯運算方面的原因。但是，功能固定思維障礙更在數(shù)學法則的應用上使學生思維受到限制，比如學生在學習余弦定理時，教師舉的例子是測量地球半徑，而當這個公式應用到其他方面的時候，學生就不能拿來解決問題了。功能固定思維障礙在于學生對事物的理解缺乏轉(zhuǎn)換能力，不能看到兩個相同事物之間的相同規(guī)律。

4.概念思維障礙的成因。概念思維障礙的形成也是一種邏輯能力的欠缺，表現(xiàn)為對概念的理解存在誤區(qū)，或者理解得較淺顯，無法對其深入理解。概念思維障礙，使學生在解題當中，往往只能解決與概念的敘述聯(lián)系較緊密的題型，稍微一轉(zhuǎn)變，或者反向推導，學生就不能正常應用概念了。另外，只能解決較簡單直觀反映概念的題，當兩個概念或者法則綜合起來時就不能進行正確的區(qū)分，也是概念思維障礙的表現(xiàn)形式。

5.興趣思維障礙的成因。興趣思維障礙，與其他的思維障礙相比既簡單又復雜，簡單是因為學生并非能力的欠缺或者邏輯推理不正確而形成思維障礙，復雜是一旦形成興趣思維障礙，學生在主觀上會對數(shù)學科目的學習存在抵觸情緒，這種主觀的情緒無法用技術手段解決。

三、高中學生數(shù)學思維障礙突破研究

上文中提到形成數(shù)學思維障礙的原因具有較強的一致性，因此不再針對不同的思維障礙進行分析，這里將探討突破數(shù)學思維障礙的一般性原則。

（一）貫徹落實新課程改革要求。針對傳統(tǒng)教育對學生能力培養(yǎng)方面的欠缺，黨和國家提出新課程改革的要求。突破高中學生的數(shù)學思維障礙，就要貫徹落實新課程改革的要求，將學生置于課堂教學的主置，培養(yǎng)學生的自學能力和自我理解能力，數(shù)學思維障礙會在一定程度上得到突破。

（二）加強教學引導。加強教學引導，是指批判繼承原先的高中數(shù)學教學模式，轉(zhuǎn)變教學方法，對數(shù)學概念和數(shù)學法則的教學，采取更易于學生接受的方式。要做到這一點，教師首先應當研究高中階段學生的思維特點，在他們本身思維特點的基礎上采取相適應的教學方法。

（三）具體問題具體分析。不同的思維障礙在形成原因上有著細小的差別，因此針對不同的思維障礙，教師要了解它們的類型，并且弄清形成原因，然后具體問題具體分析，采取適合的方法進行引導。

分析高中學生數(shù)學思維障礙的成因和突破措施，有助于高中數(shù)學的教學實踐開展和教學效果的提升。

參考文獻

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關鍵詞： 初高中物理 銜接教學 教材 基礎訓練

物理難學是初高中學生的共同感覺，新升入高中的學生尤其覺得難，原因當然是多方面的，有教材的原因，有教法學法的原因，也有學生的心理狀態(tài)、思維方式的原因，雖然新課程標準對學生的要求有所降低，但是高考因素的掣肘，使得師生雙方都不敢稍有放松。那么如何做好初高中物理的有效銜接使學生順利起步呢？

一、高中物理教師要精心研究教材，不僅要研究高中教材，還要研究初中教材，做好銜接準備。

初中到高中，物理教材有三個過渡。第一，從標量到矢量：如初中物理中描述物體運動狀態(tài)的物理量有速度（速率）、路程等。高中物理描述物體運動狀態(tài)的物理量有速度、位移、加速度等，其中速度、位移和加速度既有大小又有方向，都是矢量。還有如速度和速率；位移和路程；力的合成，也是如此。第二，從簡單到復雜：如二力平衡到力的平衡；勻速直線運動到勻變速直線運動。第三，從直觀到抽象，從定性到定量，物理概念和規(guī)律的闡述從通俗易懂到科學嚴謹。高中物理其內(nèi)容雖然分為力、熱、光、電等部分，但對知識的要求更高；初中物理教材難度小，趣味性強，在減負的大背景下，刪去了稍微繁難的計算，學生只要記住實驗現(xiàn)象，記住公式規(guī)律，就能應付，其基本教學方法一般由實驗或生產(chǎn)、生活實際引入課題，通過對現(xiàn)象的觀察、分析、總結、歸納得出物理規(guī)律，形象具體，易于接受；高中教材重視理論上的分析推導，定量研究的多，數(shù)學工具的應用，不僅有算術法、代數(shù)法，而且常要運用函數(shù)、圖像和極值等數(shù)學方法研究物理現(xiàn)象和過程。這些都使學生感到抽象難學，甚至望而生畏。教師要了解初高中教材研究的問題在知識架構、文字表述、研究方法、思維特點等方面的聯(lián)系與差異，幫助學生以舊知同化新知，使知識順利遷移。心理學知識告訴我們，人們在接納新知的過程中總是有排他性的，總想用以前的知識來認識、解釋新問題。教師要研究并順應這種心理需求，指導學生順利更新認知結構。

二、高中物理教師要針對學生心理特點和認知規(guī)律，精選教法，鋪好銜接臺階。

物理教師要了解學生已有的知識儲備、所思所想、心理特性、思維能力，順應學生的心理需求，知己知彼，才能事半功倍。初中階段的物理教學，課堂密度小，進度慢，教學內(nèi)容要求偏低，為滿足學生初入物理殿堂一窺奧妙的心理，初中物理課堂教學應注重知識性和趣味性；而且只要求學生從直觀上知道即可，對重點概念、規(guī)律，師生反復討論，重點記憶，考試時習題類型、變化也少，學生只要記住現(xiàn)象和相關公式，就能取得較好的成績，可謂“感性大于理性”；但是到了高中后，高中物理教學進度明顯加快，課堂教學密度大大提高，對知識的要求也大大提高，需要學生自己課前預習，課上勤思考，課后注意觀察、分析、思考、練習，把知識學活，能舉一反三，甚至有獨創(chuàng)精神，才能真正掌握。過去單靠對概念、規(guī)律和公式的死記硬背的一套，在高中根本不可能解決問題，因為理性分析占了絕大多數(shù)。所以教師要針對學生的這種心理特點和初高中物理的客觀認知規(guī)律，精選教法，降低起點，分散難點，放慢起始教學進度，同時滲透有關學法，鋪好銜接臺階，千萬不能幻想一蹴而就，因為欲速則不達。例如在講“加速度”概念時，只講直線運動的情況，不追求概念的完善性，這樣雖然學生對速度變化的方向與加速度方向的矢量關系不能全面認識，卻大大降低了難度，等到學習“曲線運動”時再進一步深化加速度概念。這樣逐漸加深學生對概念的理解，分散了難點，學生易于接受。

三、高中物理教師要注意通過實驗加強直觀教學，重視學生由形象思維到抽象思維的過渡，使銜接水到渠成。

物理學是一門以實驗為基礎的自然科學。在高中物理課程各個模塊中都安排了一些典型的科學探究或物理實驗，《普通高中物理課程標準》提出：“認識實驗在物理學中的地位和作用，掌握物理實驗的一些基本技能，會使用基本的實驗儀器，能獨立完成一些物理實驗?！?/p>

高中物理在研究復雜的物理現(xiàn)象時，為了使問題簡化，經(jīng)常只考慮主要因素而忽略次要因素，從而建立物理模型。這樣一來，便會使物理概念、模型很抽象，剛進入高中學習的學生，感到學習起來很困難，不容易想象。針對這種情況，應該采用直觀的教學方法，多做一些實驗，多舉一些實例，使學生能通過具體的物理現(xiàn)象掌握物理概念。蘇霍姆林斯基指出：“有許多聰明的，天賦很好的學生，只有當他的手和手指尖接觸到創(chuàng)造性勞動的時候，他們對知識的興趣才能覺醒起來?！背艘瓿烧n本上現(xiàn)有演示實驗、學生實驗外，還要有計劃、有目的地盡可能多做一些演示實驗，安排、指導學生課外實驗，小實驗，組織一些與教學內(nèi)容相關參觀訪問活動，讓他們動手，動腦，再引導他們分析討論，從中尋找出規(guī)律性的東西，從而提高學生的學習興趣，培養(yǎng)他們觀察現(xiàn)象、分析問題、解決問題的能力。讓學生做一些“探索性實驗”，有利于學生掌握研究物理問題的方法，注意力更集中，實驗更認真，思維也更活躍。

四、高中物理教師要注意對學生加強基礎訓練，培養(yǎng)邏輯推理能力和用數(shù)學知識解決物理問題的能力，使學生順利進入更高一級的學習階段。

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關鍵詞：認證協(xié)議；形式化分析；BAN 邏輯

中圖分類號：TP311文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)12-2pppp-0c

BAN Logic and It's Application in Authentication Protocol Analysis

JIN Li-ping,GU Xiang,JI Li-na

(School of Computer Science and Technology,Nantong University,Nantong 226019,China)

Abstract:The security of Internet becomes more and more important today.Now the authentication protocol analysis has become a hot topic.BAN logic is one of main tools of protocol analysis.The paper analyzed constitute of BAN logic and analysis steps. Then it pointed out various kinds of demerit of BAN logic. It also discussed some possible improvement.

Key words:Authentication Protocol;Formalized Analysis;BAN Logic

1 BAN邏輯分析方法

BAN 邏輯是由美國DEC公司研究人員Burrows，Abadi和Needham提出的一種可用于認證協(xié)議形式化分析的邏輯[1]。借助此邏輯，認證雙方可以對相互身份進行確認。此邏輯是基于知識和信仰的，認證雙方通過相互接受和發(fā)送消息來從最初的信仰逐漸發(fā)展到最終信仰。

BAN邏輯在協(xié)議分析時假設協(xié)議采用的密碼算法是完美的，即不考慮密碼算法被攻破[2]。

1.1 BAN邏輯的基本符號

BAN邏輯的對象包括：主體（用P、Q表示），密鑰（用K表示）和公式。其基本符號有：

P頡X：P相信X，即主體P在某一時刻曾發(fā)送過包含X的消息。

② P頡X：P曾說過X，即主體P在某一時刻發(fā)送過包含X的消息。

③ P?X：P看到過X，即某些主體曾發(fā)送過包含X的消息，P能讀出并重復X。

④ P?X：P對X有仲裁權。

⑤ #（X）：X是最新的。

⑥ P ? KQ：P，Q之間共享密鑰K。

⑦ K?P：K是P的公開密鑰。

1.2 BAN邏輯的主要推理規(guī)則

①消息意義規(guī)則 jlp01.tif

P相信P和Q之間共享密鑰K，而且P看到過用密鑰K加密過的消息{X}K；由此可知P相信Q曾經(jīng)發(fā)送過包含X的消息。

②隨機數(shù)驗證規(guī)則 jlp02.tif

P相信X是最新的，P相信Q曾經(jīng)發(fā)送過包含X的消息；由此可知P相信Q也相信X。

③仲裁規(guī)則 jlp03.tif

P相信Q對X有仲裁權，且P相信Q相信X；由此可知P也相信X。

④信仰規(guī)則 jlp04.tif

P相信X，P相信Y；由此可知P相信X、Y組合而成的消息。

jlp05.tif

P相信X、Y組合而成的消息；由此可知P相信X。

jlp06.tif

P相信Q相信X、Y組合而成的消息；由此可知P相信Q相信X。

⑤ 新鮮性規(guī)則jlp07.tif

P相信X是最新的；由此可知到P相信X、Y組合而成的消息是最新的。

⑥jlp08.tif

一次性隨機數(shù)N是最新的，且存在N和會話密鑰K的組合；由此可知會話密鑰K是最新的。

⑦jlp09.tif

會話密鑰K是最新的，P看到過用密鑰K加密的消息{X}K，P相信P和Q之間共享密鑰K，由以上三個條件可知P相信Q曾經(jīng)發(fā)送過包含X的消息，P相信Q相信P和Q之間共享密鑰K。

1.3 BAN邏輯形式化分析步驟

一般而言, BAN邏輯對協(xié)議形式化分析分為以下三步：

①初始假設。除了協(xié)議約定，在使用BAN邏輯分析時，另需約定一些常規(guī)條件（假設）。

②協(xié)議描述（理想化）。將協(xié)議消息轉(zhuǎn)化為BAN邏輯描述的公式，在此過程中可去除協(xié)議中的對協(xié)議分析無關的部分。

③邏輯推理。對假設和描述公式運用推理規(guī)則推理，得出各認證主體的最終信仰。

1.4 BAN邏輯分析的結論

協(xié)議分析中存在兩種級別的信仰：一級信仰為主體A相信和主體B共享密鑰K，主體B相信和主體A共享密鑰B；二級信仰為主體A相信主體B相信它和A共享密鑰K，主體B相信它和主體A共享密鑰K。

即一級信仰：A頡AK?BB頡AK?B

二級信仰：A頡B頡AK?B B頡A頡AK?B

通過判斷分析結果能否達到最終信仰，可以確定協(xié)議是否安全。

2 BAN協(xié)議的BAN邏輯分析

下面以BAN協(xié)議為例，來說明BAN邏輯分析協(xié)議的過程。

BAN協(xié)議的基本思想是：主體A和主體B在通信時，主體A先向B發(fā)送自己的身份信息A和產(chǎn)生的一次性隨機數(shù)Na；B收到后，向認證機構S發(fā)送自己的身份信息B和產(chǎn)生一次性隨機數(shù)Nb，并轉(zhuǎn)發(fā)A剛才發(fā)送的消息；S收到B所發(fā)送的消息后，認為主體A和主體B要進行通信而且正在申請會話密鑰，它就向A發(fā)送包含A，B之間會話密鑰Kab及A，B身份的加密消息；A收到后判斷一次性隨機數(shù)Na及B的身份后，就可獲得會話密鑰Kab，然后用會話密鑰Kab對Nb、B雜湊后，連同從S收到的消息一起發(fā)送給B；B收到A發(fā)送的消息后，用和S共享的密鑰對第一部分解密，得到會話密鑰Kab，并由隨機數(shù)Nb的新鮮性來判斷會話密鑰Kab的新鮮性；最后B對Na、A雜湊后，向A傳送以表示自己得到了會話密鑰Kab。上述消息可以用公式描述如下：

消息① AB：A，Na

消息② BS：A，NA，B，Nb

消息③ SA：{Na，B，Nb，Kab } ，{ ，A， }

消息④ AB：{Nb，A，Kab} ，MACKab（Nb，B）

消息⑤ BA：MACKab（Na，A）

下面就對其進行BAN分析。

第一步進行初始假設，在此協(xié)議中，共進行如下8條初始假設：

①A頡A Kas?S A相信A和S共享密鑰Kas

②B頡B Kbs?S B相信B和S共享密鑰Kbs

③A頡S ?A Kas? S A相信S對A和S共享密鑰Kas有仲裁權

④B頡S ?B Kas? S B相信S對B和S共享密鑰Kbs有仲裁權

⑤S頡A Kas? S S相信A和S共享密鑰Kas

⑥S頡B Kas? S S相信B和S共享密鑰Kbs

⑦A頡#（Na） A相信Na是最新的

⑧B頡#（Nb） B相信Nb是最新的

第二步進行協(xié)議理想化：

第①、②條消息省略，因為它們對分析協(xié)議的邏輯屬性沒有作用。

消息③ SA：{Na，A?KabB，Nb}Kas，{NB，A?KabB }Kbs

消息④ AB：{Nb，AKabB }Kbs，MACKab（Nb，B）

消息⑤ BA：MACkAB（Na，A）

第三步進行邏輯推理

由消息③，應用規(guī)則①得jlp10.tif （a）

利用假設⑦和規(guī)則⑤，得jlp11.tif （b）

由公式（a）和（b），利用規(guī)則②，得jlp12.tif （c）

由公式（c），利用規(guī)則④，得A頡{A Kab?B} （d）

由公式（d），利用規(guī)則③，得 A頡A Kab?B（e）

消息④中的第一部分的分析與以上的分析相似，得B頡A Kab?B

消息④中的第二部分和公式（b），應用規(guī)則（7），得B頡A頡{A Kab?B}

消息⑤和公式（b），應用規(guī)則⑦，得 A頡B頡{A Kab?B}

上面的結論符合最終信仰，所以可以認為該協(xié)議是安全的。

3 BAN邏輯的缺陷

3.1 BAN邏輯的缺陷

按照BAN邏輯分析方法的規(guī)定，如果協(xié)議能夠達到最終信仰，那么就可以相信該協(xié)議是安全無缺陷的。然而事實上，BAN邏輯只能做到：不能達到最終信仰的協(xié)議一定是不安全的；它并不能保證達到最終信仰的協(xié)議就一定是安全的。參考文獻[3]就給出了一個因協(xié)議中含有弱密鑰而導致未能分析出密鑰猜測攻擊的例子。

3.2 BAN邏輯缺陷產(chǎn)生的原因分析

之所以會產(chǎn)生上述問題，是因為在BAN邏輯分析時，存在著一些不精確的地方[4]：

① 初始假設：初始假設是BAN邏輯分析的一個重要步驟，然而對于這個步驟并沒有明確的可以依據(jù)的方法。通常這一步驟和分析人員的經(jīng)驗有著較大的關系。在進行BAN邏輯分析時，如果增加一個初始假設，就會得到協(xié)議是安全的結論；而如果去除這個條件，則會得出相反的結論。這一點是導致BAN邏輯缺陷的一個重要原因。

②協(xié)議理想化：理想化其實就是將要分析的協(xié)議用邏輯公式表示出來，但是BAN邏輯的理想化步驟本身其實是非形式化的，這就造成BAN邏輯分析協(xié)議缺乏有效性和正確性，沒有達到形式化方法分析協(xié)議的要求。

③語義：BAN邏輯缺少一個定義良好的語義，造成了BAN邏輯分析經(jīng)常會遭受重放攻擊。

④對協(xié)議的攻擊探測能力較弱：在BAN邏輯分析過程中有時不能有效檢測出對協(xié)議的重放攻擊，同時它也無法檢查出協(xié)議的并發(fā)運行所帶來的各類攻擊。

3.3 BAN邏輯的改進

為克服BAN邏輯的不足，學者們對BAN邏輯進行了某些必要的改進或擴展，提出了許多擴展的BAN 邏輯[5]。

GNY邏輯等對推理系統(tǒng)進行了改進；AT邏輯、VO邏輯、SVO邏輯等對語義進行了改進；MB邏輯等對理想化進行了改進。

歸納這些擴展的BAN邏輯，在克服BAN邏輯的缺陷和推廣其應用范圍上，取得了很大的成功。但相對來講擴展的BAN邏輯推理規(guī)則更多，運用起來復雜，還不如BAN邏輯簡單直觀實用。同時，它們的工作方式基本上與BAN邏輯一樣，并沒有從根本上有效地克服形式邏輯分析方法所特有的理想化步驟缺陷。

4 結束語

BAN邏輯為密碼協(xié)議第一次提供了一整套形式化分析方法，成功地找到密碼協(xié)議的許多缺陷及攻擊，這極大地推動了密碼協(xié)議的分析及設計。但它也存在著致命的缺陷：當邏輯發(fā)現(xiàn)協(xié)議中的錯誤，每個人都相信那確實是有問題；當邏輯證明一個協(xié)議是安全的，但沒有人敢相信它的正確性。所以采用BAN類邏輯這種方法可以進行密碼協(xié)議分析和輔助設計，但還不能完全信任其分析結果。

參考文獻：

[1]Michael Burrows,Martin Abadi,Roger M Needham.A logic of Authentication[J].ACM Transactions on Computer Systems,1990,8(1):18-36.

[2]R.Needham．Using encryption for authentication in large networks of computers[J].Communications of the ACM,1978,21(12):993-999.

[3]楊世平,李祥.BAN邏輯在協(xié)議分析中的密鑰猜測分析缺陷[J].計算機工程,2006,32(9):126-127,130.

[4]王亞弟,等.密碼協(xié)議形式化分析[M].北京:機械工業(yè)出版社,2006.

[5]馮彬.關于BAN 邏輯分析的改進[J].中國科學院研究生院學報,2002,19(3):306-310.

收稿日期：2008-01-12

基金項目：江蘇省高校自然科學研究計劃（05KJD520166）；江蘇省高?！扒嗨{工程”資助；南通大學學生課外科技計劃資助

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一、想象力的培養(yǎng)

想象是一種形象思維。邏輯思維是運用抽象的概念進行判斷和推理的思維。而形象思維是運用意想進行思維。意想是我們所研究的對象在我們腦子里的形象。所謂想象，就是在某些事實和已知知識的基礎上，讓思維自由神馳，通過新的組合或引起豐富的聯(lián)想、猜想，在腦子里創(chuàng)造出新的意象，從而領悟事物的本質(zhì)和規(guī)律。在教學中，有意識地培養(yǎng)學生富有浪漫主義精神的想象力是提高數(shù)學思維能力的重要環(huán)節(jié)。例如：在學習“求平均數(shù)應用題”的時候，通常學生容易在這類題上犯迷糊。請看下面這道題：在一次數(shù)學期末測驗中一班有40人，平均成績是90分，二班有38人，平均成績是92分，求兩個班的數(shù)學平均分。

很多學生在解題時主觀臆斷，直接用（90+92）÷2=91。當老師借用公式（總分數(shù)÷總?cè)藬?shù)=平均分數(shù)）追問學生“90+92”的和是一班和二班的數(shù)學總分嗎？“2”是總?cè)藬?shù)嗎？學生在嚴謹?shù)墓胶屯赖睦蠋熋媲安坏貌怀姓J自己解法的錯誤。可學生是心服口服地接受嗎？其實他們心里正在嘀咕：我用的方法不是更簡單嗎？老師的方法這么麻煩，算出的結果和我計算的結果也差不多。

在這種情況下，教師應該怎樣做才能讓學生真正明白其中蘊含的算理并心悅誠服地接受這個知識呢？這時我們可以讓學生充分發(fā)揮想象力，引導學生在大腦里創(chuàng)造出一個新的意象：把一班學生的人數(shù)想象成10000人，平均數(shù)學成績?yōu)?00分，二班學生的人數(shù)想象成2人，平均數(shù)學成績?yōu)?分。這樣，學生就容易想到，由于二班的學生人數(shù)極少，因此，二班學生對總的平均分的影響不大，總平均分應接近于100分。這樣學生無需任何計算，或者說無需任何邏輯推理，就可以明顯得出結論：總平均分不能用（100+0）÷2=50進行計算。為了進一步培養(yǎng)學生想象能力，教師還可以引導學生設計出新的意象。比如，設想一班只有2個人，平均分為100分，二班只有1個人，平均分為0分。同樣，學生容易得出結論：不能用（100+0）÷2=50計算總平均分。這種形象思維通過創(chuàng)造新的意想，把事物放大或縮小，從而把不明顯的特征與規(guī)律凸現(xiàn)出來。這種浪漫主義的夸張方法不僅是一門藝術，同時也是一種科學方法，它能夠充分發(fā)揮學生的想象力。想象力并不是詩人的專利，學習數(shù)學也需要想象力，科技工作者更需要想象力。

二、猜想能力的培養(yǎng)

非邏輯思維能力的一個重要方面就是猜想。我國著名數(shù)學家華羅庚說得好：“千古數(shù)學一大猜?！敝麛?shù)學家波利亞深刻地指出：“要成為一個好的數(shù)學家……，你必須首先是一個好的猜想家?！睌?shù)學猜想不是胡思亂想，其基本思維模式是：問題――觀察、思索――猜想――檢驗――結論。教師在教學中如何找準學生知識的生長點，引導學生模擬科學家的思維，大膽地猜想，引導學生從數(shù)學猜想走向數(shù)學發(fā)現(xiàn)，將學生帶入學習和研究數(shù)學的領域中去。

孩子們的思維在猜想與驗證中得到激發(fā)，越來越多的想法從他們的小腦袋中崩出，越來越多的知識點被學生發(fā)現(xiàn)了。一個人只要體驗一次成功的歡樂和勝利的欣慰，便會激起再一次追求成功和勝利的信念和力量。當然，在教學中教師應引導學生正確對待猜想的成敗，當猜想成功時，讓學生品嘗成果的甘甜，獲得成功的體驗，樹立“我能行”的自信心。當經(jīng)過論證發(fā)現(xiàn)猜想出錯時，也要引導學生不能灰心，適時調(diào)節(jié)自己的心理，學習科學家不畏艱難，勇于探索精神，以良好的心態(tài)投入到新的創(chuàng)造活動中。

篇8

一、主要內(nèi)容

本章內(nèi)容包括光的直線傳播、棱鏡、光的色散、光的反射、光的折射、法線、折射率、全反射、臨界角、透鏡(凸、凹)的焦點及焦距、光的干涉、光的衍射、光譜、紅外線、紫外線、X射線、y射線、電磁波譜、光電子、光子、光電效應、等基本概念，以及反射定律、折射定律、透鏡成像公式、放大率計算式，光的波粒二象性等基本規(guī)律，還有光本性學說的發(fā)展簡史。

二、基本方法

本章涉及到的方法有：運用光路作圖法理解平面鏡、凸透鏡、凹透鏡等的成像原理，并能運用作圖法解題;根據(jù)透鏡成像規(guī)律，運用邏輯推理的方法判斷物象變化情況。

篇9

一、觀察法

觀察法就是從橫向和縱向兩方面來觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，而后將橫向和縱向的規(guī)律加以整合得到數(shù)列通項的方法。觀察法在國家公務員考試的數(shù)字推理題中尤為適用，出題者的意圖在于考察人分析問題的能力、邏輯推理能力、以及變通思維能力，因此探究數(shù)列通項有助于培養(yǎng)學生邏輯推理、變通思維等能力。請看下面例題：

例：寫出下列數(shù)列的一個通項公式

分析：1.觀察分母是22，23，24，25，……

分子比分母少1，再考慮與項數(shù)n的關系，于是易得其通項為 （n為正整數(shù)）。

2.觀察奇數(shù)項特征及偶數(shù)項特征易得

觀察法是求數(shù)列通項公式的一種常用方法，熟悉觀察法從而靈活運用觀察法也為求解數(shù)列通項問題提供了一條便捷之路。

二、逐差求和法

單獨看數(shù)列的各項之間似乎不存在明顯的關系，但是它們連續(xù)兩項之間的差有著明顯的規(guī)律，此時通過求它們差的和來推導數(shù)列通項的方法就是逐差求和法。

例：求數(shù)列1，3，7，13，21……的一個通項公式。

分析：a2-a1=3-1=2

a3-a2=7-3=4

a4-a3=13-7=6

……

an-an-1=2（n-1）

an-a1=2[1+2+3+……+（n-1）]=n2-n，

an=n2-n+1（n為正整數(shù)）。

此題單叢各項之間關系看，似乎不存在明顯的關系，但是連續(xù)兩項之間的差卻是一個簡單的等差數(shù)列，這種問題我們可以運用逐差求和的方法來輕易求解。注意：最后一個式子出現(xiàn)an-1，必須驗證n=1。此時a1=1，適合上式，故an=n2-n+1（n為正整數(shù)）。

三、歸納法

運用歸納思想方法，即“由特殊到一般”。這種方法經(jīng)常幫助我們探索、發(fā)現(xiàn)并解決一些數(shù)學問題，甚至得出很重要的數(shù)學結論，應用這個方法可以通過“有限”來解決“無限”的問題。我們在求數(shù)列的通項公式時，也可用歸納猜想思想方法。一般地有模式：“特例+猜想+數(shù)學歸納法證明”。研究數(shù)列時經(jīng)常用此模式解決一些與自然數(shù)有關的問題。下面以一個競賽試題為例來解釋和熟悉這種方法。

例：數(shù)列{un}定義為：u0=2，u1= ，un+1=un（un-12-2）-u1（n≥1）。

求證：對于任意自然數(shù)n，[un]=2

（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）。

分析：此題的遞推關系比較復雜，看上去無從下手，并且未給出un的表達式，所以我必須先求出un表達式，在求un的表達式時它的遞推關系相當復雜此時該怎么辦？我們先試著求的前幾項看看：

那么問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學歸納法證明這一猜想，而后再證明2n-（-1）n可被3整除，為方便起見令 f（n）= ；當n=0，n=1時，un=2f （n）+2-f （n）成立；假設當n=k-1，n=k時上式也成立；那么n=k+1時，由遞推關系以及f（k）+2f（k）+2f（k-1）= f（k+1），2f（k-1）-f（k）=（-1）k，可得uk+1=2f （k+1）+2-f （k+1）。另一方面，

所以f（n）為正整數(shù)，于是：2f （n）為正整數(shù)，而2-f （n）是（0，1）內(nèi)的小數(shù)，故：對于任意自然數(shù)n，[un] =2 。

數(shù)列綜合問題以其難度設計的跳躍性，應用的廣泛性，方法的靈活性和技巧性而成為數(shù)學競賽的重點，其基礎是等差數(shù)列和等比數(shù)列，熱點是遞推數(shù)列，遞推數(shù)列就是滿足遞推關系的數(shù)列，設{an}是一數(shù)列，通項an與其前面若干項的關系式稱為該數(shù)列通項的一個遞推關系。問題的形式也是多種多樣的，有求通項、求和等等。

四、公式法

等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，常常是設計數(shù)列問題的“中途點”是解決問題的“突破點”其基礎知識必須牢固掌握。在學習等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關知識時，除了現(xiàn)行教材上介紹的一些基礎知識之外，還要注意它們之間的聯(lián)系，例如，將等差數(shù)列定義中的減號換成除號，通項中的加號換成乘號，倍乘換成乘方，就可得到等比數(shù)列的定義及其通項公式，這使我們可以從等差數(shù)列的一些性質(zhì)類比到等比數(shù)列的一些性質(zhì)。比如{an}為等差數(shù)列，且am=a，an=b（m≠n）則。我們可以類比猜想：若{an}為等比數(shù)列，且am=a，an=b（m≠n），則 。

再對猜想的結論進行證明、可見，運用類比方法來研究等差數(shù)列和等比數(shù)列的關系，可實現(xiàn)知識的轉(zhuǎn)移，有利于系統(tǒng)地去把握知識。

篇10

知識可以用來解決問題，所以說知識有應用價值；類似，知識的學習過程可以使學生獲得某些能力的發(fā)展，因此知識也具有能力價值 .在中學物理圖像及其教學的研究中，在默認物理圖像屬于描述物理知識的一種語言的前提下，也應該看到圖像作為物理學的一種重要研究方法對學生的能力發(fā)展有價值.本文試以物理圖像如何能促進學生的能力發(fā)展，以及究竟對哪些能力有較明顯的培養(yǎng)效果這些問題作切入點，討論物理圖像對學生的能力價值.然后再重點從學生學的角度，討論教師可以如何實現(xiàn)物理圖像的能力價值，以期為教學的實際運作提供一些思考的基礎與可行的思路.

2解物理圖像題涉及的認知功能及其相應的能力

2.1信息傳遞功能與讀取信息能力

對測試而言，命題者需要給被試呈現(xiàn)問題及其情境，與測試相關的所有信息都在試題表述之中.在紙介測試的條件下，這些信息只能依靠文字、圖與圖像來實現(xiàn).大多數(shù)情況下，包含同樣信息量的物理圖像比文字要簡潔（當然也比文字描述和公式表述更直觀）.例如一定質(zhì)量的運動質(zhì)點的v-t線，包含著對該質(zhì)點運動的性質(zhì)信息，包含著它在諸多時刻的狀態(tài)信息（如相對位置、運動方向、速度、加速度、動量與動能等），還包含著它在不同時刻之間的狀態(tài)變化信息.由此，不少題之所以選擇物理圖像呈現(xiàn)物理情境和物理現(xiàn)象，給出物理條件與物理過程，就是基于圖像的這種信息傳遞功能；而測試目的之一就是考察學生從圖像讀取信息的能力.例如振動圖象（x-t圖）與波動圖象（y-x圖）同時都含有動態(tài)信息與靜態(tài)信息的內(nèi)容，這一綜合特征成為呈現(xiàn)波動問題豐富信息的直觀手段.

2.2邏輯推理功能與數(shù)理邏輯能力

在利用已有條件和必要假設以及依據(jù)物理概念規(guī)律進行的邏輯分析中，可以從物理圖像上對條件間的聯(lián)系做出直接判斷，從而為推理指明思維的方向；也可利用圖像表明的特殊狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)隱含條件.圖像對邏輯分析問題的這種作用能較明確地表現(xiàn)出學生的數(shù)理邏輯能力.圖像的邏輯推理功能通常表現(xiàn)在以下幾個方面.

[HJ1.66mm]（1）在問題設置中，利用圖像給出情境中兩個物理量之間的變化，讓學生做出對過程性質(zhì)與特點的判斷.例如；安徽2012年高考物理卷第17題，設置帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動.給出其電勢能Ep與位移x的關系圖象，判斷題中圖象展示的四個過程的正確與否.

（2）設置問題情境，讓學生依托物理規(guī)律及其推證，尋求物理量間的變化圖象.例如：北京2014年高考理綜卷第21題，設置電源電動勢與內(nèi)阻確定的閉合電路，尋求電源的輸出功率與電路的路端電壓之間的變化關系圖象.

（3）借助圖像，實現(xiàn)對所學知識的概括總結.典型的例子如北京2010年高考理綜卷第20題，給出一般性的函數(shù)圖象y=kx+b.（k>0，b>0），讓學生分析選項所給[JP3]出的四種情況下，對應物理變化滿足這樣函數(shù)關系的過程.[JP]

這種圖像既考查與培養(yǎng)物理知識的理解能力和應用物理知識解決問題能力，也體現(xiàn)出對知識的概括化、系統(tǒng)化、聯(lián)系化與內(nèi)在邏輯化的要求.

[JP3]3從學生學的視角，組織凸顯能力價值的物理圖像教學[JP]

注意到物理圖像教學中一般側(cè)重圖像對知識的理解和解題的應用，教師可能缺乏通過物理圖像培養(yǎng)學生能力的自覺意識；而且教師通常是從“教”的角度組織圖像教學.本文下面將重點從學生學的角度，討論教師如何實現(xiàn)物理圖像的能力價值.

3.1對物理圖像，學生到底都需要學什么？

在教師開始重視圖像教學以后，按以往的教學邏輯，可能依然是學生要學會運用圖像法解題，或者如何利用圖像更深地理解物理概念、規(guī)律.本文認為，學生最要學的不是“使用或?qū)嵱谩毙再|(zhì)的內(nèi)容，而是作為其源與基礎的物理圖像本身的內(nèi)涵.對物理圖像作用的理解不能停留在抽象地認為它是一種重要的物理學研究方法，具有直觀、形象的特點這一簡單水平.還需要對物理圖像的方法屬性；它與其它數(shù)學方法在物理學中功能的差異；中學所涉及的物理圖像與數(shù)學圖象的異同；物理圖像的成立、生成、物理內(nèi)涵、物理意義與應用等等 有清楚的認識.

首先，由物理公式或變形來的任何函數(shù)都可以有其數(shù)學圖象，可用來解物理題，但只有那些具有物理意義的函數(shù)圖象才可稱之為物理圖像.其次，根據(jù)坐標軸代表的物理量，用坐標系呈現(xiàn)出幾個物理量的變化及其相互關系，可以展現(xiàn)其物理狀態(tài)及狀態(tài)變化的過程.對物理現(xiàn)象及物理過程而言，圖像不僅是對文字語言描述的一種補充，還是一種豐富和完善，即物理圖像語言還擁有自己的“詞匯”體系.它們除了具有原有的數(shù)學意義外，自身還有明確的物理學的涵義.例如物理圖像中的“點”，表示由坐標軸的物理量所標示的一種物理運動狀態(tài)，而截距、端點、曲線交點則分別代表一種特定的物理狀態(tài)；物理圖像中的“線”既表征某種性質(zhì)的運動過程，又反映了運動狀態(tài)隨時刻（或其它物理量） 改變或不變的相互關系和運動的變化趨勢以及相關物理概念在某種條件下的聯(lián)系.

3.2物理圖像的教學，也須尊重學生的認知規(guī)律

雖然有些物理圖像的基本知識可以通過講授完成，但無論是想讓學生學懂物理圖像與數(shù)學的異同、理解具體運動的物理圖像并能讀取圖像所提供的信息，還是想讓學生學會使用物理圖像解決問題，都不宜僅把圖像當作陳述性知識講，還要把它當作一種物理方法來理解和運用.究其原因：方法、能力等概念本身及其抽象程度都高于知識，即已不處于經(jīng)驗層面，能力乃是一種心理特征.根據(jù)大腦功能的發(fā)育時間，高二時，大腦已基本可以承擔只根據(jù)概念與規(guī)律的定義和內(nèi)涵就可完成抽象思維的工作 .也就是說，當學生能夠從學習方法到進而獲得能力發(fā)展的時候，高中教師就不應再把方法（程序性知識）完全當作陳述性知識處理.需要注意的是，具體到某個學生，進入純抽象思維的時間則是隨機的，可能在高一也可能在高三甚至更晚；而且即使一個抽象思維能力成熟的人，在觸及陌生或困難的問題時也會傾向具體或直覺的方式 .因此，按照唯物的認知方式，教師最好先帶領（或創(chuàng)設條件讓）學生對物理圖像作為方法的過程有數(shù)次感受甚至體驗，然后再結合學生已有的經(jīng)歷將相應的圖像方法提煉出來.當學生對圖像方法的理解是“有血有肉”的時候，再增加圖像方法的應用性練習.

此外，還需要重視聯(lián)想與想象能力的培養(yǎng).因為對物理圖像的認知還需要想象和聯(lián)想.例如：由勻速直線運動的v-t圖象與橫軸所圍“面積”vt是其在t時間內(nèi)的位移s，聯(lián)想并推理得到勻加速直線運動的v-t圖象與橫軸所圍面積s=[SX（]（v0+vt）×t[]2[SX）]=v0t+[SX（]at2[]2[SX）]應是物體運動對應時間內(nèi)的位移.而要計算梯形的面積則需將梯形近似為無數(shù)個矩形，這就需要學生調(diào)動想象力才能完成.

3.3尊重學生學習心理的物理圖像教學策略，要靠師生一起共同探尋

教師的教學行為要尊重現(xiàn)在所教學生的認知規(guī)律、過程和認知的即時狀態(tài)，因此教學設計上就要及時了解學生對所學內(nèi)容產(chǎn)生的疑惑、糾結之所在.

（1）使學生先行樹立并逐步加強物理圖像學習的意識

學生渴望學習物理圖像的積極性是師生共同加強物理圖像教學的基礎.為此要讓學生明確“物理規(guī)律常用數(shù)學公式和圖像來表示”，理解“物理圖像是科學表達的一種‘語言’”，以及“必要時能運用幾何圖形函數(shù)圖像進行表達和分析”，“關注自己表達能力的提高”.還要提醒學生注意上述不同要求的差異，后者是對應用物理圖像表征問題及處理問題的能力要求.

（2）引導學生根據(jù)物理意義識圖、用圖、畫圖、轉(zhuǎn)換圖

正確地識圖、用圖、畫圖、轉(zhuǎn)換圖乃是用圖像順利解決問題的基本途徑.例如分析不計重力的帶電粒子射入作周期性變化的平行板間電場的這類問題，通常的分析程序是：先識圖，發(fā)現(xiàn)加在平行金屬板上的電壓隨時間周期性變化，認識到電壓的變化就是電場的變化；再畫出對應的電場強度E隨時間t變化圖像，到分析出電場強度的變化就是電場力的變化，而電場力的變化又是加速度的變化，于是將E-t圖象轉(zhuǎn)換成帶電粒子在電場中運動的加速度隨時間變化的a-t圖象；最后，再結合粒子的初速度，利用a-t圖象畫出粒子在垂直平行板方向運動的v-t圖象.這樣，帶電粒子在電場中的復雜運動就被v-t圖象直觀地呈現(xiàn)出來了.在實際教學中最好先通過幾個實例讓學生感受這一基本途徑，再引導學生歸納出他們各自的含義.

（3）注意物理知識與圖像在教學中的自然融合

教學實踐表明，學生對物理知識的學習存在著由于思維發(fā)展水平不均衡引發(fā)的障礙性.它具有時間段兼內(nèi)容段的雙重性特征.例如，不少高一入學新生，掌握運動學知識的公式體系難度較大.其直接原因是公式表征對抽象能力的要求與這些學生對抽象度高的概念的認知水平的不適應，造成了他們的認知瓶頸.對此，可考慮的方法就是借助圖像的直觀表征，在學生和高度抽象的公式之間架起溝通的橋梁.如對利用速度圖像推導勻變速直線運動的速度公式、位移公式，學生反映良好.另外將圖像的推演功能融入數(shù)理推證的過程，可加強數(shù)理邏輯能力的培養(yǎng)與訓練.這樣教學的意義，已并不只著眼于解決學生此時、此處的認知瓶頸，還在于讓高一學生初步感受物理學將數(shù)學圖象和推證與物理之理結合起來的邏輯推理方法，從而為數(shù)理邏輯能力的學習打下一個感性基礎.